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Números Primos

Los números primos  han despertado pasiones en muchos matemáticos. Conozcamos un poco más sobre ellos.

Por definición, un número primo es un número que tiene estrictamente dos divisores, él mismo y el uno.

Ejemplo

  1. El 1 no es primo, pues solo tiene un divisor, el 1
  2. En cambio el 2 sí es primo pues tiene dos divisores, el 2 y el 1
  3. De igual manera el 3 es primo, ya que tiene solo como divisores al 3 y el 1
  4. El 4 no es primo, ya que es divisible entre 2
  5. El cinco sí es prmo, el siete, el once, trece, diecisiete, diecinueve…

 

Pero…

¿Cuántos números primos hay?

El antiguo matemático griego Euclides demostró que hay una cantidad infinita de números primos en su gran obra llamada Los Elementos. Desde hace muchos, muchos siglos, se ha tratado de dar con una forma de  ncontrar números primos. El antiguo matemático griego, Eratóstenes creo un método para determinar los números primos a partir de una lista de números, ese
método se le conoce como la Criba de Eratóstenes, y consiste en lo siguiente.

Algoritmo de Eratóstenes

Si queremos conocer los números primos entre el 1 y el 50, fijémonos en esta lista. Ya sabemos que el 1 no es primo, entonces lo tachamos, de ahí le sigue el dos, el cual sabemos que es un número primo, entonces tachamos todos los múltiplos de dos, el cuatro, el ocho, el diez y así sucesivamente.

Ahora sigue el número tres que también es primo, entonces de la misma manera ahora tachamos todos los múltiplos de tres, el seis ya está, tachamos el 9, el quince, el veintiuno y seguimos sucesivamente.

Si repetimos este proceso con el cinco y con el 7, los números que quedan sin tachar son primos, los cuales son el 2, 3 ,5, 7, 11,13, ,17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, y 47. El problema de encontrar primos ha perdurado, a través de los siglos.

Fórmula de Fermat

En el siglo XVII, Fermat fue víctima de los números primos, pues el creía haber dado con una formula para dar primos. Dicha fórmula es dos elevado a la dos a la n, todo eso mas 1, con n cualquier número natural, a este tipo de números se les conoce como números de Fermat, y pues parecía que funcionaba muy bien dado que Para n igual a cero nos resulta 3 Para n igual a 1 nos da 5 Para n igual a 2 resulta 17 y la cosa funciona muy bien para n igual a 3 y n igual a 4.

Euler

No sería hasta prácticamente 100 años después que el matemático Suizo de apellido Euler, demostraría que para n igual a 5, dos elevado a la dos a la cinco, mas 1, que es igual a cuatro mil doscientos noventa y cuatro millones, novecientos sesenta y siete mil doscientos noventa y siete, es un número compuesto, lo cual significa que es producto de números primos, y dichos primos son seiscientos cuarenta y uno y seis millones setecientos mil cuatrocientos diecisiete.

En la actualidad no se sabe si algún otro número de está forma resulte ser primo, y solo se conoce la factorización en números primos de los primeros doce números de Fermat. No hay duda que Fermat nos dejó mucho trabajo por delante. Ya sea para encontrar un nuevo número primo de esta forma o para dar con la factorización de algún otro número de Fermat.


Los números primos de Mersenne

En enero de este año 2018, se anunció el hallazgo del número primo de Mersenne número 5o. El número primo con más dígitos hasta ahora conocido, con veintitres millones doscientas cuarenta y nueve mil cuatrocientas veinticinco cifras.

¿Qué es un número de Mersenne?

Un número de Mersenne es de la forma: dos elevado a un número primo, todo eso menos uno. Se les llama así en honor al fraile francés Marín Mersenne (siglo XVII), quien dedicó mucho trabajo a este tipo de números, sin embargo los números de está forma ya eran trabajados desde los antiguos griegos. Lo interesante de éstos números es ver cuáles cumplen ser primos, los que cumplen con ésto les llamamos primos de Mersenne.

(2^p)-1

Marín Mersenne afirmó que para p igual a 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 se cumple que dos elevado a la p menos 1 es primo. Lo curioso es que no dejó prueba de como determinó que su algorítmo se cumplía que para esos números primos dos a la p menos uno es un número primo. Y resulta un tanto increíble que lo haya determinado todo a mano, pues tuvo que haber lidiado con números de hasta 20 dígitos.

Leonhard Euler

Después de más de un siglo el matemático suizo Leonhard Euler, demostró que efectivamente para P = 31, resulta ser primo. Pero la incógnita para P igual a 67, 127 y 257 siguió durante varias decádas.

Édouard Lucas

En la primera mitad del Siglo XIX, el matemático francés Édouard Lucas logró demostrar que para P = 127, es efectivamente un número primo. Parecía que Mersenne había dado al clavo con su lista de primos que satisface dar números primos. Pero a principios del Siglo XX un matemático inglés de apellido Cole, probó que para P= 67  no es un número primo, es decir que se puede ver como la multiplicación de números primos.

En la segunda mitad del siglo XX

 Se encontraron tres primos de Mersenne más y se probo que para P=257, tampoco es un número primo. Para desentrañar la lista que estableció Mersenne pasaron alrededor de trescientos años. Aún hay mucho trabajo, pues no se sabe si se puede tener una cantidad infinita de éstos números primos, ni tampoco si entre los primos de Mersenne conocidos se esconda algún otro.

GIMPS

Actualmente se requiere el poder de las computadoras para encontrar nuevos primos de Mersenne, dado que los cálculos son exhorbitantes. A través del programa de la GIMPS (Gran Búsqueda por Internet de Primos de Mersenne) por sus siglas en inglés, tú también puedes ser parte de la búsqueda de éstos números primos a través de tu computadora, y quién sabe, si resulta que tu computadora encuentra un primo de Mersenne, seguro tendrás un grata recompensa.

Si estás interesado en unirte a la búsqueda, visita: Mersenne.org


Seguridad y Números Primos

Detrás de la seguridad de las páginas web, transacciones por Internet, y hasta de la seguridad de nuestros dispositivos móviles están presentes los números primos, números primos muy grandes.

Encriptación RSA

Los números primos son empleados en el sistema de encriptación RSA. Cuyas siglas son la primera letra del apellido de los matemáticos que elaboraron este sistema RSA (Rivest, Shamir y Adleman) Este sistema está a cargo de la seguridad de nuestras compras por internet, de las páginas seguras de internet y hasta de la seguridad de nuestros teléfonos móviles.

¿Cómo funciona el sistema RSA?

Un sistema de encriptación funciona como un cofre del tesoro, en el cual se guardan datos o información importante, este cofre tiene diversos cerrojos, los cuales se pueden solo abrir con las llaves indicadas. El sistema de encriptación RSA cuenta con dos claves, la clave pública (Seguros) y la clave privada (llaves).

Clave pública y privada

La clave pública es un dato que puede llegar a conocer cualquier persona, mientras que la clave privada son los datos que originan a la clave pública. Pero pareciera que como cualquiera puede tener acceso a la clave pública, nuestra información pueda quedar a expensas de algún pirata informático. Y aquí es en donde entran en juego…

Los números primos

En el sistema RSA la clave pública es el resultado de multiplicar dos números primos. Mientras que la clave privada son dichos números primos.

Supongamos que queremos guardar información muy importante. La guardamos entonces en el cofre RSA y las llaves que abren los cerrojos de este cofre que son nuestra clave privada, serán dos números primos que nosotros queramos. por ejemplo el 7 y el 13. Al cerrar el cofre, dejamos una marca que dice 91.

El secreto del cofre

Ese 91, es información que cualquiera puede ver (clave pública). Así que si alguien quiere abrir nuestro cofre, debe de conocer las llaves. Para conocer las llaves simplemente se debe descomponer el 91 en sus factores primos, es decir, tenemos que encontrar dos números primos que multiplicados nos den 91.

En nuestro ejemplo sería muy sencillo dar con primos tales que su multiplicación nos resulte 91. Así que la elección de números primos muy pequeños no es la ideal. Pero la cosa cambia radicalmente cuando escogemos como llaves dos números primos de muchas cifras, es decir números primos grandes, muy grandes.

¿Cómo encontrar la llave?

Si escogemos números primos muy grandes como llaves, nuestra clave privada, al ser el producto de estos primos muy grandes, será un número muy grande también, y encontrar los factores de ese número no es imposible, pero a las mejores computadoras, les llevaría años poder encontrar las llaves.

Encriptación y Seguridad

Por ello es que usar números primos para encriptar información es una de las formas más seguras que tenemos en la actualidad. Pero resulta que no tenemos tantos números primos grandes, es por ello que algunos matemáticos apoyados de computadoras siguen en busca de números primos muy grandes, pues entre más primos tengamos disponibles, más seguro será el Sistema RSA.

Por: Fabian Ferrari Pardiño



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