Implementado en el Telebachillerato Comunitario No. 85
0. Práctica Docente en TBC #85
El razonamiento matemático y la demostración son componentes esenciales del conocimiento matemático. Mediante la exploración de fenómenos, la formulación de conjeturas matemáticas, y la justificación de resultados en diferentes niveles de complejidad, los alumnos apreciarán que las matemáticas tienen sentido. Este componente del conocimiento matemático deberá estar presente en la experiencia matemática de los estudiantes desde los niveles de educación infantil. Razonar de manera matemática es un hábito, y como todos los hábitos se debe desarrollar mediante un uso consistente en muchos contextos. Godino (2014)
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Marco histórico:
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1. Sistemas numéricos
El desarrollo de los Sistemas Físicos comienza a partir de la abstracción de observables (Los elementos que medimos en la naturaleza). Los números son una gran herramienta para medir, por lo que es importante conocer su construcción y sus reglas. En clase hablamos de los conjuntos de números y de los infinitos.
Leyes de los números Reales
Conmutatividad
Suma: a + b = b + a
Multiplicación: a * b = b * a
Asociatividad
Suma: a + ( b + c) = (a+b) + c
Multiplicación: a*(b * c)=(a * b) * c
Distribución
a * ( b + c ) = a * b + a * c
Neutro
Suma: a + 0 = a
Multiplicación: a * 1 = a
Inverso
Suma: a + (-a) = 0
Multiplicación: a * (1/a) = 1
Las leyes de los signos son reglas básicas que se aplican al multiplicar o dividir números positivos y negativos en álgebra y aritmética. Es importante tener en cuenta estas reglas para evitar errores al manipular expresiones algebraicas. Las reglas de los signos son las siguientes:
+a * +b = + (a * b)
a * – b = – (a * b)
– a * b = – (a * b )
– a * – b = + (a * b)
“Los estudiantes deben aprender las matemáticas con comprensión, construyendo activamente los nuevos
conocimientos a partir de la experiencia y los conocimientos previos” (NCTM, 2000, Principio de Aprendizaje)
Las leyes para operaciones de fracciones son un conjunto de reglas que nos guían al realizar operaciones matemáticas con fracciones, como la suma, resta, multiplicación y división. Estas reglas son fundamentales para simplificar y resolver problemas que involucran fracciones. A continuación, se presentan las principales leyes para operaciones de fracciones:
Reglas de exponentes
Las reglas de los exponentes, también conocidas como propiedades de los exponentes, son un conjunto de reglas que se utilizan para simplificar y manipular expresiones algebraicas que involucran potencias. Estas reglas son fundamentales en álgebra y cálculo y son útiles para simplificar cálculos y resolver ecuaciones.
2. Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, una de las cuales contiene una o más incógnitas. El grado de una ecuación es el mayor exponente de la incógnita.
Ecuaciones de Primer Grado: También conocida como ecuación lineal, es una expresión algebraica que involucra una o más incógnitas a la primera potencia. La forma general de una ecuación de primer grado es:
mx + b = 0
m : Pendiente
x : Incógnita
b : Ordenada al orígen
Funciones lineales
En matemáticas, una función es una relación entre dos conjuntos de elementos, donde a cada elemento del primer conjunto (llamado dominio) le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto (llamado codominio). En una función lineal, la variable independiente (x) tiene un exponente de 1, lo que significa que las variables están relacionadas de manera proporcional. La pendiente determina la dirección y la inclinación de la línea, mientras que la ordenada al origen indica dónde la línea corta el eje vertical.
y(x) = mx + b
X: Variable independiente
Y(x) : Variable dependiente de X
m : Pendiente
b : Ordenada al orígenLas funciones lineales son fundamentales en matemáticas y se utilizan ampliamente en diversas aplicaciones, como en la física para describir el movimiento rectilíneo uniforme, en la economía para modelar relaciones de proporcionalidad directa, y en muchas otras áreas donde se necesita describir relaciones lineales entre variables.
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es una ecuación algebraica que involucra una variable elevada al cuadrado (exponente 2), además de términos lineales (exponente 1) y términos constantes (exponente 0).
3. Geometría
La intersección entre la geometría y el álgebra ha sido un área de estudio fascinante y fructífera a lo largo de la historia de las matemáticas. Estas dos ramas, en apariencia distintas, están intrínsecamente entrelazadas, y su comprensión conjunta ha sido fundamental para resolver una amplia gama de problemas en diversas disciplinas. Desde las ecuaciones de líneas y planos en el espacio tridimensional hasta la representación geométrica de polinomios y funciones, son temas que proporcionan una comprensión más profunda y una capacidad aumentada para abordar problemas matemáticos y aplicados con soluciones innovadoras y elegantes.
Multiplicación de binomios
La multiplicación de binomios es una operación algebraica que consiste en multiplicar dos expresiones algebraicas que tienen exactamente dos términos cada una. Un binomio se compone de dos términos, y en la multiplicación de binomios, cada término del primer binomio se multiplica por cada término del segundo binomio, y luego se suman los resultados.
Instrucciones
Representación mediante áreas de rectángulos
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más famosos en la geometría euclidiana, nombrado en honor al matemático griego Pitágoras. Este teorema establece una relación fundamental entre los lados de un triángulo rectángulo, es decir, un triángulo que tiene un ángulo recto (90 grados).
Este teorema es aplicable únicamente a triángulos rectángulos. La relación establecida por el Teorema de Pitágoras es de vital importancia en muchas áreas de las matemáticas, la física y la ingeniería, y se utiliza en una amplia variedad de problemas prácticos, desde el diseño de edificios hasta el cálculo de distancias en geometría analítica.
Leyes de Euclides
En la geometría euclidiana, se estudian las propiedades y relaciones de los objetos geométricos en un plano o en el espacio tridimensional utilizando una serie de definiciones, axiomas y teoremas. Los elementos básicos de la geometría euclidiana incluyen puntos, líneas, segmentos de línea, rayos, ángulos, polígonos, círculos y sólidos geométricos como prismas, pirámides y cuerpos de revolución.
Leyes de la geometría
La geometría euclidiana es la base de gran parte de la geometría enseñada en las escuelas y universidades hoy en día, y proporciona un marco formal para el estudio de las formas, las propiedades y las relaciones geométricas en el plano y en el espacio tridimensional. Aunque la geometría euclidiana es muy poderosa y útil, también tiene limitaciones y no puede describir todas las situaciones geométricas que pueden surgir en contextos más avanzados o no euclidianos.
Actividad para hablar del círculo y los ángulos
Una de las maneras más habituales para introducir la fórmula de la longitud de una circunferencia consiste en hacer medir a los alumnos diferentes longitudes y diámetros de objetos circulares como platos, monedas, etc. para que comprueben que el cociente entre la longitud y el diámetro siempre es el mismo y que aproximadamente es 3,14. Para ello, los alumnos pueden rodear con una cuerda el perímetro del plato y luego extenderla sobre una regla para medirla. Si algún alumno no está en la etapa operatoria puede no entender que la longitud de la cuerda no varía al extenderla sobre la regla.
Juan D. Godino (2014). DIdáctica de las matemáticas para maestros. Proyecto Edumat-Maestros, Universidad de Granada .
El círculo trigonométrico
(En construcción)
4. Movimiento
Un sistema físico, en el contexto de la física, se refiere a un conjunto de observables interconectados, que interactúan entre sí y con su entorno de acuerdo con principios y leyes físicas. Estos sistemas pueden ser tan simples como una partícula individual o tan complejos como una galaxia. Por ejemplo, el sistema físico para describir el movimiento de un cuerpo, necesita tres principales observables.
Dinámica
En la física, la distancia, el tiempo y la masa son tres conceptos fundamentales que constituyen la base de nuestras descripciones del mundo natural. La distancia es la medida de la separación entre dos puntos en el espacio, y su comprensión es esencial para describir el movimiento y la geometría. El tiempo es una dimensión en la que todos los eventos ocurren y se desarrollan, y su estudio nos permite entender la evolución de los sistemas físicos. Por último, la masa representa la cantidad de materia presente en un objeto y determina cómo responde este a las fuerzas. Juntos, estos tres conceptos forman la trama de nuestras leyes físicas del movimiento, y también, proporcionan la estructura necesaria para modelar y comprender el comportamiento del universo que nos rodea.
Velocidad
¿Hay alguna relación entre el espacio y el tiempo ΔX ≈ ΔT ?
Sí
La velocidad (V) es un concepto esencial en la formulación de las leyes del movimiento, ya que es la relación entre el espacio y el tiempo.
ΔX = V * ΔT
La velocidad es la cantidad de espacio recorrido (ΔX = Xf – Xi) por un objeto, en una cierta cantidad de tiempo (ΔT = Tf – Ti). La expresamos a través de la siguiente ecuación.
V = ΔX / ΔT
. Con la velocidad (V) podemos analizar y predecir el comportamiento de objetos en movimiento, y también nos permite predecir, la duración (el tiempo) de un desplazamiento en el espacio.
ΔT = V / ΔX
Movimiento rectilineo uniforme
El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es un tipo de movimiento en el que un objeto se desplaza a lo largo de una línea recta con una velocidad constante. En otras palabras, en el MRU, la magnitud de la velocidad del objeto no cambia con el tiempo y su dirección es constante.
La posición como función del tiempo
d (t) = V * t + do
V : Velocidad | t: tiempo | d0 : Posición inicial
Las características principales del movimiento rectilíneo uniforme son las siguientes:
Trayectoria rectilínea: El objeto se mueve a lo largo de una línea recta sin desviarse de su camino.
Velocidad constante: La velocidad del objeto no varía con el tiempo. Esto significa que la magnitud y la dirección de la velocidad son constantes.
Aceleración nula: La aceleración del objeto es cero, ya que no hay cambios en la velocidad.
La aceleración y la fuerza
La aceleración es la medida del cambio de velocidad de un objeto con respecto al tiempo, mientras que la fuerza es la magnitud que causa este cambio de movimiento de acuerdo con la segunda ley de Newton.
a = ΔV / ΔT
F = m*a
Termodinámica
(En construcción)
Referencias:
Bryan Tapia (2021). El antiguo egipto y el teormea de pitagoras. Youtube youtu.be/qIaitTddPng?si=BVsAuvb5XIEPL6-L
Juan D. Godino (2014). Didáctica de las matemáticas para maestros. Proyecto Edumat-Maestros, Universidad de Granada.
Profe Alex (2017). Solución de ecuaciones. matematicasprofealex.wordpress.com
Julio Profe (2015). Polinomios algebraicos. julioprofe.net
Lennyx Camacho (2021). Geometría egipcia. Youtube youtu.be/w33I9m-iYi8?si=QhMcaJ6IEUJsjP5O
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